先证黎曼函数在0,1点连续。 下证对于任意一个正数a,总存在0的一个邻域{x|0<x<t}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a 对于邻域中的无理点显然成立。存在整数n使`(1/n)<a`,则t取`(1/n)`.对于`{x|0<x<(1/n)}`中的有理数，其分母>n,不然,x>=(1/n),从而`|f(x)-0|<(1/n)<a`,从而黎曼函数在0点连续。 下证对于任意一个正数a,总存在1的一个邻域{x|t<x<1}使得其中的任何一个数都满足：|f(x)-0|<a 对于邻域中的无理点显然成立。存在整数n使`(1/n)<a`,则t取`((n-1)/n)`.对于`{x|((n-1)/n)<x<1}`中的有理数,其分母>n,否则,`x<=((n-1)/n)`,从而`|f(x)-0|<(1/n)<a`,从而黎曼函数在1点连续。再证黎曼函数在所有有理点不连续。 设这个有理数为`(p/q),(p,q)=1` 下 证 对 于 任意一个正数a,总存在`(p/q)`的一个邻域`{x|0<|x-(p/q)|<t}`使得其中的任何一个数都满足:|f(x)-0|<a.对于邻域中的无理点显然成立。取`t=a/q,t>|(r/s)-(p/q)| ` `=|(rq-ps)|/|sq|>=1/|sq| => s>(1/ qt),f((r/s))=(1/s)<qt=a => |f(x)-0|<a`,从而黎曼函数在`(p/q)`点的极限为0, 而`f(p/q)=1/p<>0 => `黎曼函数在所有有理点不连续。又可以由未分的定义知道黎曼函数不可微
